「なぜ書けない？」を解き明かす！――数学・証明問題の手引書

「三角形の二等分線は…」と書き出した瞬間、手が止まる。
「対偶でいけそう」と思っても、一文目が浮かばない。
黒板の模範解答は理解できるのに、白紙になると何も出てこない――。
そんな“証明が書けない”悩みは、知識不足ではなく「型」と「順番」が曖昧なことが原因です。

証明は、事実の暗記ではなく「前提から結論へ橋を架ける設計」。
本記事では、考え方の地図と書くための型を整理し、
今日から「書ける証明」へ変えるための実践手引を紹介します。

なぜ証明が書けないのか――知識より「順番」と「型」

証明が苦手な多くの人は、定理を知らないわけではありません。
問題は「どの手順で使うか」「どんな言葉でつなぐか」が曖昧なこと。

証明は三層で整理できます。

• 上層：論理の型（直接・対偶・背理・帰納）
• 中層：題材の作法（図形・数列・関数などの定石）
• 下層：文の型（導入・展開・結語）

層がかみ合うほど、迷いは減ります。
つまり、どの層からでも動ける「起動文」を持つことが、証明の第一歩です。

型を作る――論理のフォームを整える

証明はスポーツのフォームに似ています。
ぎこちなくても「型」を決めると、再現性が上がる。

1. 論理の型と起動文
   　- 直接法：「仮定より〜が成り立つ。ゆえに〜を示せばよい。」
   　- 対偶法：「命題P→Qは対偶¬Q→¬Pと同値。よって〜を示す。」
   　- 背理法：「〜と仮定して矛盾を導く。すると〜と〜が両立しない。」
   　- 帰納法：「n=kで成り立つと仮定し、k+1でも成り立つことを示す。」

　最初の一文を“口に出して言える”と、白紙が怖くなくなります。

2. 題材の作法：分野別の最初の一手
   　- 図形：補助線候補を挙げ、合同か相似かを先に宣言。
   • 関数：定義域・単調性・端点値を最初に確認。
   • 整数：偶奇・合同式・整除のどれを使うかを決める。

　最初の一手が決まるだけで、次の文が自然につながります。

3. 文の型：三段構成で安定させる
   　- 導入：仮定と結論、方針の宣言。
   • 展開：根拠→保証→小結の繰り返し。
   • 結語：目標文を完全形で再掲。

　特に“保証”が鍵。「なぜその根拠で主張を支えられるのか」を一語で入れましょう。
　「したがって」「よって」「同値」などの“保証語彙”を10語だけ持つと、文が整います。

書く稽古――読み・骨子・清書・別解の四相で回す

型を覚えたら、次は「回す」段階です。毎日少しずつ机に乗せられる形で練習します。

1. 読み：主張・根拠・保証を欄外メモに
   　模範解答を読んだら、段落ごとに「主張／根拠／保証」を書き出す。
   　保証が抜けている箇所は定理名で補うことで、“橋の場所”が見えます。
2. 骨子：三行設計
   　問題を見たら、まず3分で①戦略宣言 ②鍵の事実 ③結語再掲を三行に。
   　骨子を先に書くと、清書が滑らかになります。
3. 清書：文の型に流し込む
   　導入・展開・結語を意識して段落を分け、「よって」「さらに」などの接続語で流れを作る。
4. 別解：視点の切り替え練習
   　直→対偶、背理→直接、図形→ベクトル…週に1問で十分。
   　視点が増えるほど、解法の起動文も増えていきます。

分野別の“起動点”メモ

• 図形：最初に「合同 or 相似」の選択と対応の宣言。
• 関数：導関数・単調性・端点を表に整理。
• 整数：命題を合同式に翻訳できるかを試す。
• 帰納法：K→K+1の“差し込み点”を先に印で確認。
• 背理法：狙う矛盾（大小・偶奇・一意など）を最初に決める。

これらの“初手”を持つだけで、最初の一文が軽くなります。

採点者の視点で考える

読みやすい証明は、正しい証明と同じくらい評価されます。
段落を見やすく、結語を完全形で、定理名を明示。
「読ませる証明」を意識することで、同じ内容でも得点が安定します。

最後に――証明は才能ではなく、設計の技術

証明が書けないのは、知識の量ではなく設計の順番が曖昧だから。
論理の型・題材の作法・文の型を三層で整え、
「読み→骨子→清書→別解」の小さなサイクルを積み重ねることが、最短の練習です。

証明は才能の競技ではなく、設計の競技。
今日は三行の骨子、明日は起動文の音読、週末に別解を一つ――。
小さな積み重ねが、本番で“書ける自分”をつくります。